Fisher精确检验

基本概念

Fisher精确检验是用于分析列联表的统计显着性检验。虽然在实践中它适用于样本量较小的情况，但实际上它适用于所有样本量。它可以精确的计算出差异的显著性p值，而不是卡方检验得到的近似p值。

理论依据

Fisher精确检验是基于超几何分布计算的，它分为两种，分别是单边检验（等同于超几何检验）和双边检验。

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。超几何分布的一个形象例子是：有N件物品，M件为次品，求取n件，其中有k件为次品的概率 = $\frac {\binom {M} {k} * \binom {N-M} {n-k}} {\binom {N} {n}}$

基本思想

在2*2列联表中，四格表周边和（即边际分布）计数固定不变的条件下，计算表内4个实际频数变动时的各种组合之概率Pi；再按照检验假设用单侧或双侧的累计概率P，依据所取的检验水准做出推断。

具体操作

假如想要知道学习好坏是否和男女性别有关，那么现在随机抽出20个人，对应的统计列联表如下：

零假设：男女性别和学习好坏无关

为了知道能否拒绝零假设，我们下面做个Fisher精确检验（单侧检验）

第一步：在零假设成立时（即性别与学习好坏无关），我们随机一抽就能抽出这20个样本的概率是（超几何概率）：

$$p_1 = {\binom{12} {9} \binom{8} {1} \over \binom{20} {10}} = 0.0095$$

第二步：如果行总数与列总数（又叫边际总数）不变，零假设不成立时的极端情况应该是，男生学习都好，那么我们可以得到新的列联表：

这时，可以计算这个表格的超几何概率：

$$p_2 = {\binom{12} {10} \binom{8} {0} \over \binom{20} {10}} = 3.5723 \times 10^{-4}$$

那么Fisher精确检验的P value就是两者加和，即

$$p_1 + p_2 = 0.0099$$

p值越小，我们越有信心拒绝零假设。如果我们以0.05为显著性水平判断值的话，我们可以认为，男生的学习更好

注意：以上例子计算的是单侧检验的结果，对于双侧结果，一般是说在所有四格表的组合当中，将概率小于或等于原四格表的概率相加，得到双侧概率（需要进一步验证这种说法）

思考

Fisher精确检验是基于超几何分布检验的，相对于卡方检验来说，适用于小样本量的计算（卡方检验是通过大样本量来近似卡方分布求得近似的p值）