超几何分布和二项分布

超几何分布

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出$n$个物件，成功抽出指定种类的物件的个数的概率（不归还）。

黑白球问题解释：例如共有$N$个球，其中$m$个白球。超几何分布描述了在该$N$个球中抽出$n$个，其中$k$个是白球的机率：

$$f(k;n,m,N) = \frac{\binom{m} {k} \binom {N-m} {n-k}} {\binom {N} {n}}$$

上式可如此理解：

$\left( N \over n\right)$表示所有在$N$个样本中抽出$n$个，而抽出的结果不一样的数目。

$\left(m \over k\right)$表示在$m$个样本中，抽出$k$个的方法数目。剩下来的样本都是及格的，而及格的样本有$N-m$个，剩下的抽法便有$\left({N-m} \over {n-k}\right)$种。

若$n=1$，超几何分布还原为伯努利分布。若$N$接近 $\infty$，超几何分布可视为二项分布

二项分布

在概率论和统计学中，二项分布（英语：Binomial distribution）是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为$p$。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当$n=1$时，二项分布就是伯努利分布。

具体解释：

假设进行$n$次独立实验，每次实验“成功”的概率为$p$，失败的概率为$1-p$，所有成功的次数X就是一个参数为$n$和$p$的二项随机变量.数学公式定义为：

$$p(k) = \binom {n} {k} * p^k * (1-p)^{n-k}$$

二项分布公式基于伯努利分布得到，因为二项分布中每项实验都是独立的，因此每一次实验都是一次伯努利实验，在$n$次实验中，成功$k$次，排列方式有$\left( {n \over k} \right)$种，根据乘法原理，即可得到二项分布的公式。

总结

超几何分布相当于连续抽取$n$次成功的概率（不放回抽样），二项分布是重复抽$n$次成功的概率（放回抽样）。